反对称矩阵是在线性代数中一类具有特定性质的方阵。具体来说，如果有一个n阶方阵A，其所有元素都是实数，并且对于任意的行索引 i 和列索引 j（其中 (1<= i, j <= n) ），满足条件

aij=−aji，那么这个矩阵A就被称作反对称矩阵。这里的aij代表矩阵A中第i行第j列的元素。a_{ij} = -a_{ji}，那么这个矩阵A就被称作反对称矩阵。这里的a_{ij}代表矩阵A中第i行第j列的元素。aij​=−aji​，那么这个矩阵A就被称作反对称矩阵。这里的aij​代表矩阵A中第i行第j列的元素。

简而言之，反对称矩阵的任何一对关于主对角线对称的元素在数值上相等但符号相反。

特点总结：

主对角线元素为零：由于aii=−aii，这意味着主对角线上的所有元素必须为零。由于a_{ii} = -a_{ii}，这意味着主对角线上的所有元素必须为零。由于aii​=−aii​，这意味着主对角线上的所有元素必须为零。反对称性质：除了主对角线外，矩阵中任意元素与其对角线对称位置的元素互为相反数，即aij=−ajia_{ij} = -a_{ji}aij​=−aji​特征值特性：反对称矩阵的特征值或者是零，或者是纯虚数。这意味着它没有实数的非零特征值。行列式特性：对于奇数阶反对称矩阵，其行列式的值总是零。这是因为反对称矩阵的行列式实际上是其所有特征值的乘积，而由于至少有一个特征值为零（根据上面的特征值特性），所以奇数阶反对称矩阵的行列式为零。对称性和反对称性的组合：任何方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和，即A=12(A+AT)+12(A−AT)，其中12(A+AT)是对称部分，12(A−AT)是反对称部分。A = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T)，其中\frac{1}{2}(A + A^T)是对称部分，\frac{1}{2}(A - A^T)是反对称部分。A=21​(A+AT)+21​(A−AT)，其中21​(A+AT)是对称部分，21​(A−AT)是反对称部分。

例子：

考虑下面这个3阶反对称矩阵的例子：

A=[02−1−20−4140] A = \begin{bmatrix}

0 & 2 & -1 \\

-2 & 0 & -4 \\

1 & 4 & 0

\end{bmatrix} A=​0−21​204​−1−40​​

在这个矩阵中，可以验证任意一对关于主对角线对称的元素满足反对称的条件。例如，a12=2而a21=−2，a13=−1而a31=1，例如，a_{12} = 2而 a_{21} = -2，a_{13} = -1 而 a_{31} = 1，例如，a12​=2而a21​=−2，a13​=−1而a31​=1，且主对角线上的元素均为0，符合反对称矩阵的所有定义和性质。

应用：

反对称矩阵在多种数学和物理领域中都有应用，例如在微分几何中描述旋转变换，在物理学中描述某些力的相互作用，以及在控制理论中用于系统动态的建模等。